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東大 2024年度 理系数学 第五問をAIにやらせてみた
座標空間内に３点１A(1,0,0)、B(0,1,0),C(0,0,1)をとり、Dを線分ACの中点とする。三角形ABDの周および内部を x 軸のまわりに１回転させて得られる立体の体積を求めよ。
マイクロソフトの Copilotの場合
問題の解答を以下に示します。
まず、点Dは線分ACの中点なので、その座標はAとCの平均、すなわち(1/2, 0, 1/2)です。
次に、三角形ABDをx軸周りに回転させると、回転体が形成されます。この回転体の体積は、三角形の面積と回転の角度によって決まります。ここでは、360度（すなわち2πラジアン）回転させるので、回転体の体積Vは次のように計算できます：
V=π×面積(ABD)×高さ(D)
三角形ABDの面積は、ベクトルABとベクトルADの外積の大きさの半分で求められます。ベクトルABは(0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)、ベクトルADは(1/2-1, 0-0, 1/2-0) = (-1/2, 0, 1/2)なので、これらの外積は(-1/2, -1/2, -1/2)となります。したがって、三角形ABDの面積は
面積(ABD)=21(−1/2)2+(−1/2)2+(−1/2)2=213/4=43
また、高さDは点Dのx座標、すなわち1/2です。
以上から、回転体の体積Vは
V=π×43×21=83π
となります。以上が求める立体の体積です。よって、答えは √3π/8 です。以上が求める立体の体積です。よって、答えは √3π/8 です。
グーグルの Gemini の場合
解答:
1. 回転体と断面
三角形ABDをx軸のまわりに回転させると、ドーナツ型の回転体ができます。この回転体の体積を求めるには、まず断面の形状と面積を求める必要があります。
断面は、三角形ABDを回転させた図形となります。A、B、Dはx軸上にあるため、断面は円となります。断面の半径は、点AまたはBと点Dの距離に等しく、
r = √((1 - 0.5)^2 + (0 - 0.5)^2) = √0.75 = 0.866
となります。
2. 積分による体積計算
回転体の体積は、断面の面積と断面の厚さを積分することで求めることができます。断面の厚さは、x軸の範囲で変化します。
x = aからx = bまでの区間で回転させた場合、回転体の体積Vは次の式で求めることができます。
V = ∫_a^b πr^2 dx
ここで、rは断面の半径、aとbはx軸の範囲を表します。
3. 体積の計算
今回の問題では、x = 0からx = 1までの区間で回転させます。断面の半径は0.866なので、体積Vは次の式で計算できます。
V = ∫_0^1 π(0.866)^2 dx = π(0.866)^2 ∫_0^1 dx = π(0.866)^2 * 1 = 0.75π
答え
三角形ABDをx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積は、0.75πです。
ChatGPT の場合
まず、三角形ABDの面積を求めます。これはヘロンの公式を用いて求めることができます。ヘロンの公式は三角形の３辺の長さからその面積を求める公式ですが、AB, BD, ADの長さを求めることができます。
ABの長さは点A(1,0,0)と点B(0,1,0)の距離であり、 𝐴𝐵=(1−0)2+(0−1)2+(0−0)2=2AB=(1−0)2+(0−1)2+(0−0)2=2
同様に、BDとADの長さも計算できます。
BDの長さは点B(0,1,0)と点D(0,0,1)の距離であり、 𝐵𝐷=(0−0)2+(1−0)2+(0−1)2=2BD=(0−0)2+(1−0)2+(0−1)2=2
ADの長さは点A(1,0,0)と点D(0,0,1)の距離であり、 𝐴𝐷=(1−0)2+(0−0)2+(0−1)2=2AD=(1−0)2+(0−0)2+(0−1)2=2
これらの長さを用いて、三角形ABDの面積をヘロンの公式から求めます。
𝑠=𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐴𝐷2=2+2+22=2s=2AB+BD+AD=22+2+2=2
面積=𝑠(𝑠−𝐴𝐵)(𝑠−𝐵𝐷)(𝑠−𝐴𝐷)=2(2−2)(2−2)(2−2)=0=0面積=s(s−AB)(s−BD)(s−AD)=2(2−2)(2−2)(2−2)=0=0
したがって、三角形ABDの面積は0です。
次に、この三角形ABDをx軸の周りに1回転させて得られる立体の体積を求めます。回転体の体積は、回転させる前の図形の面積または体積に回転軸まわりの回転角に比例します。ここでは三角形ABDの面積が0なので、回転させた後の体積も0です。
したがって、求める立体の体積は0です。
私の計算結果は、π/9 です。
★当塾の医学部合格実績★
京大医学部医学科６名（2024,2022, 2016, 2014, 2013）
阪大医学部医学科４名（2023-3名、2014）
名大医学部医学科２名（2018, 2013）
高木繁美。「高木教育センター」塾長。
名古屋大学卒業後、アメリカユタ州で中学校教師をした後、帰国。英検１級、通訳ガイドの国家試験、
国連英検Ａ級、ビジネス英検Ａ級などに合格。京大二次試験を７回受けて出題傾向を調査。英語８１％、
数学７０％の正解率。少林寺拳法二段。ジャッキー・チェンの前でヌンチャクを披露したことが自慢。
「私の京大合格作戦」（エール出版）2020年度版から2022年度版に漫画化されて掲載。チャットワー
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