とあるブログでこんな記事を見つけた。

「２と１は等しい」

はい？

これは、虚構新聞という、いわゆるウソっぱちな記事を載せている新聞（ウェブページ）に、まことしやかに書かれていたらしい。

それを立証するとして開示されていた式が以下のもの。

そして、ブログの筆者さんは、この式を反証（正しく無いということを教えること）してくれと書いていた。

ａ＝ｂ　　　　　 　　　　　　　　　　・・・①

ａ＾２＝ａｂ　　　　　　　　　　　　　・・・②

ａ＾２－ｂ＾２＝ａｂ－ｂ＾２ 　　　　・・・③

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ｂ（ａ－ｂ）　　・・・④

ａ＋ｂ＝ｂ　　　　　　　　　　　　　・・・⑤

２ｂ＝ｂ　　　　　　　　　　　　　　 ・・・⑥

２＝１　　 ・・・⑦

（ａ＾２やｂ＾２は、ａの２乗、ｂの２乗という意味）

まず、それぞれの式①～⑦への流れについて検討する。

①から②は、右辺と左辺にそれぞれａを掛けることで成立します。

②から③は、右辺と左辺からそれぞれｂの２乗を引くという事で成立します。

③から④は、右辺と左辺をそれぞれ変形（左辺はａ＋ｂで、右辺はｂで括る形にした）させることで成立します。

④から⑤は、右辺と左辺をそれぞれａ－ｂで割ることで成立します。

⑤から⑥は、左辺のａに対し、①で示しているａ＝ｂに基づいてｂを代入することで成立します。

⑥から⑦は、右辺と左辺をそれぞれｂで割ることで成立します。

つまり、パッと流し見た限りでは、①～⑦は、全て成立してしまいます。つまり、正しい！

ですが、これでは反証にならないので、ちょっと検討してみましょう。

上の式は、単純に①に数字を代入すると、答えは０になります。

ａ＝ｂ＝数字な訳ですから、③の式で０になりますよね。

ではなぜ、上の式では、①～⑦の全てが成立するように思えてしまうのでしょうか？

それは、「代入」というまやかしがあるからです。

だってそうでしょう？

⑤の式が出た時点で、ａにｂを代入する必要なんて無いんですもの！

ａ＋ｂ＝ｂ　　・・・⑤

が導き出されたとしたならば、左辺のｂを右辺に移項してやれば、

ａ＝ｂ－ｂ＝０　　・・・⑧

という式が導きだされ、

ａ＝０　ｂ＝０　よって、ａ＝ｂ　　・・・⑨

という事が立証されるのです。

さてここで、⑤の式のａに対して仮にｂを代入し、⑥の式を得たとします。

ここで、⑨で示したように、ｂは０になることが解っている訳ですから、

⑥の式にｂ＝０を代入すると、式⑥は、

２×０＝０　　・・・⑥´

となります。

つまり、

０＝０＝ａ＝ｂ　　・・・⑥´´

ですね。

つまり、上式の⑥から⑦への変換では、②～⑤においては、ａ≠ｂとしてその「文字」を扱いながら、①と⑥においてはａ＝ｂとしてその「文字」を扱っているため、あたかも各数式が成立するような錯覚に陥るのです。

さらに反証を述べるとすれば、⑤から⑥に至る代入は、ａ＝０にｂ＝０を代入しているのであり、数式的に見た場合には

０＋０＝０を２×０＝０と変換しているのです。

どちらにしても、⑦の式は導きだせませんよね。

これで、反証を終わります。

以上