元々数学の問題を予想して対策するのは好きな方だし、

2020年以降の数学の出題方針を占う上でも2019年の問題は重要です。

だから、今後のことを考え、2019年の東大文系数学の出題内容を自分なりに予想してみます。

①「3次(or4次)関数の接線の通過領域」

個人的には大本命のネタです。

数年以内には何らかの形で出題されると踏んでいます。

図形と式で出てくる「通過領域」と微積分で出てくる「3次関数」や「4次関数」を融合させてくることは東大文系なら充分に考えられそう。

通過領域に関しては、多分出るとしたら「線分」の通過領域なんじゃないかなと思ってますが、「円」や「関数(曲線)」の通過領域も出題が考えられるとおっしゃっている人もいるようです。

4次関数の場合には「二重接線」が出てきたら少し厄介です。因数定理を用いた少し特殊な接線の方程式の求め方をする点が3次関数の時とは少し異なるので。

あとは本当に「通過領域」の問題なのか否かをちゃんと切り分けることも東大なら重要になってきそう。たまに通過領域っぽい問題文の書き方をして実は通過領域の問題じゃなかった、というケースがあるので。

②「確率漸化式と条件付き確率」

これも東大なら大本命にあたるネタか。

確率漸化式は元々2年に1回ぐらいの割合で出てるし、条件付き確率もこれまで文系で出てないことを考えるとそろそろかという予感がしています。

例えば2018年の第3回全統記述模試の理系用の問題でこんな感じの「確率漸化式と条件付き確率がセットになった」問題が出ていました↓

ただ、東大の場合はすぐに確率漸化式とわかるような問題はむしろ少数派で、

大抵の場合は「確率漸化式なのかそうじゃないのか」を自分で考えなきゃいけないという点が厄介です。

確率漸化式っぽいなと思っても結局漸化式じゃなかったというケースだってあるし。

③「剰余の周期性」

整数の予想は本当に難しいです。

その中でも東大的にベタなのを挙げるとこれか。周期性の証明で「数学的帰納法」が使えることも多いので個人的には好きです。

その他には「ガウス記号で不等式を利用する問題」とか「n進法」とか「約数倍数」とか「素数」とか本当に色々考えられます。

④「ベクトル方程式(直線or円or球面)」

最近の文系数学はやけにベクトルが流行りだしています。

新課程で文系の範囲からベクトルという単元が丸々削除される関係で、今まで作り置きしていた問題を一気に放出してくる可能性もあるし、ベクトルはやはり要注意かなあという気がします。

(ちなみに新課程にはベクトルの代わりに「確率分布」という確率とデータの分析(統計学)が合体したような単元が新たに追加されるようです。)

センター試験みたいな「共線条件」や「共面条件」を使った三角形とか四面体の問題は考えにくいし、むしろセンターであまり出ない「ベクトル方程式」あたりが狙われてもおかしくないと思っています。

「軌跡や領域」「相加相乗」「三角関数」あたりとの融合にも注意が必要か。

《その他重要なネタ一覧》

・相加相乗

これは東大文系ならではのテーマで、2012年や2015年に出ています。

相加相乗を使うまでに式変形を工夫しなきゃいけない問題が東大の場合多いです。

「和の最小値」を求める際によく使いますが、「積の最大値」を求める時にも実は使えるという点が多くの人にとっての盲点になりそう。

・解と係数の関係

微積分とかでよく小技として使うこともあります。

東大ぐらいになってくると、むしろ解と係数の関係を逆に使って「2次方程式」を作る問題が重要。

・偶奇の場合分け

数列でこれが必要になってくることがあります。特にΣ計算で偶数と奇数を分けて考えないとΣ計算ができない問題とかがたまにあります。

漸化式を作る時にも偶数と奇数に分けて考えることが必要になる問題がある模様。例えば2012年とか。

・2変数関数

2次関数と図形と式を体系的に捉えられているかを確認する目的で登場したりします。